男
基本概念
カーネル空間 KerA
ある写像Aに対して、写像の作用下でAx = oを満たす集合の集合をAのカーネルと呼びます。非コンパクトに平坦化された "写像Aの場合、KerAは0次元で、原点 o
ImA
与えられたAに対して、xは様々に変換され、Aの作用の下での集合y=AxはAの像と呼ばれます。
シングルショット、フルショット、ダブルショット
ここで、ある問題を紹介します：
方程式y =Ax
- 同じ結果yについて、その原因は一意的なxか？
- どのような結果yであっても、それにつながる対応する原因xを見つけることは可能ですか？
条件1を満たす写像をワンショット、条件2を満たす写像をフルショット、条件1と2の両方を満たす写像を双射影と呼びます。
長行列，短行列，正方行列
y=Ax のとき，A は m x n の大きさ．
- m > nのとき、Aは長行列と呼ばれます；
- m < n のとき，A は短行列と呼ばれます．
- m = n のとき、つまり x,y が同じ次元のとき、これは正方行列と呼ばれます；
- 正方行列に対して反転可能な行列がない場合、Aは特異行列と呼ばれ、そうでない場合は非特異行列と呼ばれます。
定義と定理
初等変換
の行列に対して以下の操作を行います。
- 行に c
- ある行のcと別の行の乗算
- 2行の入れ替え
上記の処理はすべて、単位配列の左乗算で表すことができ、これらの演算を初等変換と呼びます。
次元の定理
m×nの行列Aに対して
dim KerA + dim ImgA = n直観的には、Aはn次元空間からm次元空間への写像です。 元のn次元から、KerAに対応する次元数が圧縮され、残りの次元数がImAです。
線形部分空間
線形空間Vに対して、V内の領域Wが次の条件を満たすとき、WはVの線形部分空間であるといいます。
- W内のベクトルxとx'に対して、それらの和x+x' も W 内にあること。
- W内のベクトルxとcについて、量cxの積もW内にあるとき
W内のベクトルxとcのランク
ランクは「対象空間の全体を完全にカバーできるかどうか」という問題を解決するために提案されたもので、具体的な問題は「ImAが空間の全体をカバーしているかどうか」であり、この問題はImAの次元性、すなわちランクrankに関係します。 すなわち： dim ImA = ランクA
連立一次方程式の解法
第4章
固有値と固有ベクトル
定義
幾何学的に分析すると、固有ベクトルとは、線形変換後も元の方向からずれない空間上のベクトルのことです。長さは伸びるかもしれません。長さの変化の倍数が固有値です。例えば空間を回転させたとき、線形変換行列を分析しなくても行列の対応する固有ベクトルを求めることができます。
性質
- 対角行列、上三角行列、下三角行列の対角要素が固有値。
- 実数行列の固有値と固有ベクトルは複素数であることもあります。
- 次数nの正方行列の固有値は、重根を含む場合にnを持ちます。
- 固有値 0 を持つ A は、特異行列であることと等しく、固有値 0 を持たない A は非特異行列であることと等しい。
- 行列式は固有値の積に等しい
- 異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立であり、同じ固有値を持つ固有ベクトルは線形独立でもよい；
- 正方行列Aの特性多項式の定数項 a0 = detA
- Aのトレースは対角要素の和に等しい。9
応用
システムが制御不能かどうかの判定
固有値の絶対値がすべて1以下であれば制御不能の危険性はなく、そうでなければ制御不能の可能性があります。
対角化
pApが対角行列となるような適切な可逆行列pを選ぶ操作を対角化と呼びます。
対角化する理由
方法
- A,...の固有値λを求めます。 λと対応する固有ベクトルp,.....p
- 固有ベクトルを並べるとP, P =
Jordan
対角化できない正方行列Aに対しては、変換を行うことで、対角行列に非常に近い形、つまりヨルダン標準型を次のような形で得ることができます：
性質
- 対角要素は固有値
- 対角上のいくつの同じ固有値がいくつの重根に対応するか
- 対角要素がいくつのヨルダンブロックであり、いくつの線形独立な固有ベクトルに対応するか。
- 固有値が重根を持たない場合、行列は対角化可能です。
